Cálculo do ângulo: Resolvendo um problema de lançamento oblíquo
Cálculo: Ao chutar uma bola de futebol, o jogador está realizando um lançamento oblíquo, ou seja, lançando a bola com uma velocidade inicial formando um ângulo com o solo. Nessa situação, é possível calcular tanto o ângulo de lançamento quanto a trajetória da bola. Neste artigo, vamos explicar como realizar esses cálculos a partir de um problema específico.
Problema: Uma bola de futebol é rematada e 4 segundos depois cai a 40 metros do ponto de onde foi chutada. Calcule o ângulo que a velocidade inicial forma com o solo e dê a equação da trajetória.
Solução: Para resolver esse problema, vamos utilizar as equações do lançamento oblíquo. As equações são:
- Altura máxima: hmax = (v0 * sen(θ))^2 / (2 * g)
- Alcance: R = (v0^2 * sen(2θ)) / g
- Tempo de voo: t = (2 * v0 * sen(θ)) / g
Onde:
- v0: velocidade inicial
- θ: ângulo de lançamento
- g: aceleração da gravidade (9,81 m/s^2)
a) Cálculo do ângulo de lançamento: Sabemos que a bola cai a 40 metros do ponto de onde foi chutada e que o tempo de voo é 4 segundos. Portanto, podemos utilizar a equação do alcance para encontrar a velocidade inicial:
R = (v0^2 * sen(2θ)) / g 40 = (v0^2 * sen(2θ)) / 9,81 v0^2 * sen(2θ) = 392,4 v0^2 = 392,4 / sen(2θ)
Agora, podemos utilizar a equação do tempo de voo para encontrar o ângulo de lançamento:
t = (2 * v0 * sen(θ)) / g 4 = (2 * sqrt(392,4 / sen(2θ)) * sen(θ)) / 9,81 sen(θ) = 0,7235 θ = arcsen(0,7235) θ ≈ 47,5°
Portanto, o ângulo que a velocidade inicial forma com o solo é de aproximadamente 47,5 graus.
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b) Equação da trajetória: Para encontrar a equação da trajetória, podemos utilizar a equação da altura em função do tempo:
h(t) = h0 + v0 * sen(θ) * t – (g * t^2) / 2
Onde:
- h0: altura inicial (assumimos que é zero)
- t: tempo
Substituindo os valores encontrados para v0 e θ, temos:
h(t) = 0 + sqrt(392,4 / sen(2θ)) * sen(θ) * t – (9,81 * t^2) / 2
Simplificando a expressão, temos:
h(t) = 19,6 * t^2 / (2 * cos^2(θ)) – 19,6 * t^3 / (2
